玻尔理论｜走进量子力学（4）

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玻尔理论｜走进量子力学（4）

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2017-03-12
新浪微博@博科园 天文物理

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1913年丹麦物理学家N.玻尔结合M.普朗克的量子概念、A.爱因斯坦的光子概念和E.卢瑟福的原子模型而提出的原子结构理论。

                               
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玻尔和著名的索尔维会议照片

量子化条件：

玻尔假定，氢原子核外电子的轨道不是连续的，而是分立的，在轨道上运行的电子具有一定的角动量（L=mvr,其中m为电子质量，v为电子线速度，r为电子线性轨道的半径），只能按下式取值：

                               
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式中，n=1,2,3,4,5,……。这一要点称作量子化条件，这是波尔为了解释氢原子光谱提出他的模型所做的革命性假设。式中n称为量子数（主量子数）。

跃迁条件：

电子吸收光子就会跃迁到能量较高的激发态，反过来，激发态的电子会放出光子，返回基态或能量较低的激发态；光子的能量为跃迁前后两个能量之差、1913年英国剑桥大学的学生N·Bohr提出了一个假设，成功地解释了H原子光谱。

1、基本思想：① 承认卢瑟福的原子天文模型放弃一些经典的电磁辐射理论把量子的概念用于原子系统中

2、玻尔的三条假设：① 原子系统只能存在于一系列不连续的能量状态中（E1、E2、E3···），在这些状态中，电子绕核作加速运动而不辐射能量，这种状态称这为原子系统的稳定状态（定态）频率条件：当原子从一个定态跃迁到另一个定态时，出或吸收单色辐射的频率满足

只有当原子从一个较大的能量En的稳定状态跃迁到另一较低能量Ek的稳定状态时，才发射单色光，其频率：

反之，当原子在较低能量En的稳定状态时,吸收了一个频率为n的光子能量就可跃迁到较大能量Em的稳定状态。③处于稳定态中，电子绕核运动的角动量满足角动量量子条件

假设1 是经验性的，它解决原子的稳定性问题；假设2 是从普朗克量子假设引申来的，因此是合理的，它能解释线光谱的起源。假设3 表述的角动量量子化原先是人为加进去的，后来知道它可以从德布罗意假设得出；

结论：电子轨道是量子化，能量是量子化的，能量最低的状态叫基态，其他状态叫做激发态。可以用下式计算任一跃迁相关的光子的能量：

                               
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用它阐明了氢原子光谱和氢原子结构。

　　①原子中电子只能在符合一定条件的圆形轨道（稳定轨道）上运动,其条件是它的角动量L必须是h/2π的整数倍：

L＝mvr＝nh/2π　　(1)

式中m、v是电子的质量和速度；r是圆形轨道的半径；h是普朗克常数；n是量子数，为1、2、3、…。电子在稳定轨道上运动时不释放能量。
　　②原子内电子在不同轨道上运动有不同的能量──能级。电子轨道离核近的能级低，离核远的能级高。原子所处的稳定状态称为基态。
　　③电子从较高能级跃迁到较低能级时，以辐射方式释放能量。辐射波数与两能级之差有关：

寊＝(E1-E2)/hc　　 (2)

式中寊为波数；E1－E2为两能级之差；c为光速。
　　设原子核电荷为+Ze,则在定态时电子与核的静电引力Ze2/r2即是电子作匀速圆周运动时的向心力：

Ze2/r2＝mv2/r

即

Ze2/2r＝mv2/2　　(3)

电子在离核r处的势能是-Ze2/r。电子在第n能级上的总能量是：

En＝-Ze2/2r (4)

合并式(1)和式(3)，得：

r＝n2h4/(4π2mZe2) 　　(5)

式(5)代入式(4)，得：

En＝－2π2mZ2e4/(n2h2)　　(6)

　　根据式(6)把式(2)改写为：

　　 (7)

把m、e、c、h值代入2π2me4/(ch3), 得 109700厘米-1，与由实验测定的里德堡常数109737.3厘米-1相符。

　　对于氢原子(Z＝1),将m、e、h、π等代入式(5),得：

r＝52.9n2pm
n＝1　第一能级的r＝52.9pm
n＝2　第二能级的r＝52.9×4pm
………………………

　　将有关数值代入式(6)，得：

En＝－2.17×10-21/n2　(kJ)

此式表明：n大时,电子能量也大；n＝∞时,则电子电离，电子能量增大为0,即基态氢原子的电离需2.17×10-21千焦能量，或1摩尔氢原子电离时需 2.17×10-21×6.02×1023＝1311千焦/摩尔。此值与实验值 1312千焦/摩尔相近。
　　玻尔理论成功地解释了氢原子和类氢离子(如 Li2+、Be3+、…)的光谱频率和结构,但无法解释谱线的强度和偏振等现象。

经典理论的困难	原子的稳定性	电子做加速运动应该辐射电磁波，逐渐减小能量和轨道半径，最终落入原子核，原子是不稳定的，与事实不符
	原子光谱的分立性	电子绕核运行辐射频率应等于电子绕核运行频率，由于运行轨道的减小，辐射电磁波频率应不断变化而形成连续光谱，这与原子光谱一明线光谱不符(固定的若干种频率)
玻尔理论基础	实验基础	氢原子光谱的分立特征
	理论基础	普朗克关于黑体辐射的量子论与爱因斯坦的光子说
波尔理论内容	量子化假设	①电子的轨道是量子化的。电子运行轨道的半径不是任意的，只有半径的大小符合一定条件的轨道才是可能的。电子在这些轨道上绕核的转动是稳定的，不产生电磁辐射   ②原子的能量是量子化的。这些量子化的能量值叫做能级。原子中这些具有确定能量的稳定状态称为定态。能量最低的状态叫做基态，其他的状态叫做激发态
	频率条件	当电子从能量较高的定态轨道(Em)跃迁到能量较低的定态轨道(En)时，会放出能量为hv的光子，这个光子的能量由前后两个能级的能量差决定，即hv=Em一En
对光谱的解释	原子光谱的分立性	通常情况下，原子处于基态，基态是稳定的，处于激发态的原子是不稳定的。原子从高能态向低能态跃迁时放出的光子的能量等于前后两个能级之差。由于原子的能级是分立的，所以放出的光子的能量也是分立的。因此原子的发射光谱只有一些分立的亮线
	特征谱线	由于不同的原子具有不同的结构，能级各不相同，因此辐射(或吸收)的光子频率也不同，这就是不同元素的原子具有不同的特征谱线的原因
	氢原子光谱线系	玻尔理论不但成功地解释了氢光谱的巴耳末系，而且对当时已发现的氢光谱的另一线系——帕邢系(在近红外区)也能很好地解释。它是电子从n=4、5、6等能级向n=3 能级跃迁时辐射出来的。此外，玻尔理论还预言了当时尚未发现的氢原子的其他光谱线系，这些线系后来相继被发现，也都跟玻尔理论的预言相符

玻尔的原子理论的成功与局限:

玻尔的原子理论第一次将量子观引入原子领域，提出定态和跃迁的概念，成功地解释了氢原子光谱规律，但玻尔引入的量子化观点并不完善。在量子力学中，核外电子并没有确定的轨道，玻尔的电子轨道只不过是电子出现概率较大的地方。把电子的概率分布用图像表示时，用小黑点的稠密程度代表概率的大小，其结果如同电子在原子核周围形成的云雾，称为“电子云”。