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天才也有想不明白的问题
物理学祖师爷伽利略的科学著作《关于两种新科学的对话》，在这本著作中，伽利略发表了一些犀利的洞察，比如“世间万物不能按照线性比例放大”，但他也提出了一些自己尚未想通的事。
困扰了伽利略的是这样一个问题：正整数集合 {1, 2, 3, 4, ⋯} 和平方数集合 {1, 4, 9, 16, ⋯} 哪个大？
一方面，每个正整数平方都唯一地对应了一个平方数，两个集合大小应该相等才对。而另一方面，正整数集合里包含了所有的平方数，按照传统理论，“部分”怎么能等于“整体”呢？
这个悖论不但让伽利略百思不得解，也困扰了当时的很多数学家。
终于，19 世纪，德国出现了一位伟大的数学家格奥尔格·康托尔（Georg Cantor），在“集合”这个问题上进行了更完善更成体系的思考。
下面我们就来领略一下康托尔的经典理论吧。
让每个客人都能拿到自己的“房卡”
同样是无穷集合，如果集合里的元素能够与全体正整数构成一一对应的关系，我们就说它是可数的，否则就说它是不可数的。
比如我们说集合 A 可数，意味着集合 A 里所有元素都可以拥有不重复的编号。对应到酒店这个场景，就意味着每个客人都能拿到属于自己的“房卡”。
举例来说，全体奇数的集合{1,3,5,7…}可以这样编号，1 是 1 号，3 是 2 号，5 是 3 号，7 是 4 号……如此进行下去，集合中的每个奇数都会获得一个编号，且不会重复。
就像视频中这家神奇的酒店，无穷多的奇数房间可以容纳无穷多新客人一样。
同样，全体偶数的集合也是“可数的无穷集合”。
那么分数呢？我们知道分数也是无穷的，那这些无穷的分数都可以分配到唯一的编号吗？
分数可以看作是由分子和分母两个整数的组合所构成的数字，那么数分数的个数可以用数整数组合的形式来代替。
我们按下面的方式为所有分数编号，1/1 对应 1 号，2/1 对应 2 号，1/2 对应 3 号，1/3 对应 4 号……注意图中加粗的分数，都是约分以后等于前面出现过的某个分数，编号时可以忽略不计。
我们可以清晰地看到，每个分数（即整数组合）都能和一个自然数相对应。虽然有无限多的分数，但都是可以编号的。如同我们在给车里的客人们安排房间一样。无论你是二号车的第三名客人，还是九号车的第八名客人，都能领到自己的那张专属房卡。所以可以说分数也是一种“可数的无穷集合”。
（注：安排住宿时虽然不必考虑“约分”的问题，但原理是同样的）
“幽灵客人”是怎么来的？
1874 年， 康托尔在他的论文中提到“虽然全体有理数甚至是全体代数都是可数的，但全体实数（有理数和无理数的总称）却是不可数的。”
换句话说，同样是无穷多，“实数集合”可以对着“有理数集合”说：“我们不一样！”
事实上，实数区间 (0, 1) 就已经是一个不可数的集合了。换句话说，你绝不可能用“第一个数是某某某，第二个数是某某某”的方式把 0 到 1 之间的所有实数一个不漏地列举出来。总会有一个数字，它不在你的列表里，像“幽灵客人”一样，无法被安排在入住名单上。
康托尔的证明思路是这样的：
假设你把实数区间 (0, 1) 里的所有数按照某种顺序排列起来写在一个列表上：
……………………………
现在我问你，你能写全吗？你说，如果有张无限大的纸，就可以写全。
不，你才写不全！因为我能构造这么一个数，它的小数点后第一位不等于 No.1(小数点后) 的第一位，小数点后第二位不等于 No.2 的第二位，总之小数点后第 i 位不等于 No.i 的第 i 位。这个数属于实数区间 (0, 1) ，但它显然不在这个的列表里，因为它和你列表里的每一个数都有至少一位是不同的。
通过这个巧妙又气人的方法，我们就证明了实数区间是不可数的。
我们现在知道了，虽然都是无穷大，但“所有实数”的集合，和“所有有理数”、“所有自然数”的集合比起来，他们是不一样的！ “无穷大”和“无穷大”之间也是分伯仲的。
………
我们不一样，每个人有不同的基数
康托尔除了提出了“两种无穷大”，还提出了比较集合大小的方法，解决了伽利略遗留下来的难题。
康托尔定义了表示无穷集合的“大小”的术语，叫做基数(cardinal number)，也叫势(cardinality)。如果两个无穷集合之间如果能够建立一个一一对应关系，就说这两个集合“等势”或“有相同的基数。
这种“一一对应”的思想伽利略当年也使用到了，可惜他没有沿着这个思路更进一步思考下去。
我们现在知道了自然数集合、有理数集合、整数集合、奇数集合、偶数集合都具有相同的基数， 也知道了上述集合的基数，与所有实数的集合的基数是不相等的。实数的数量比有理数数量高出了一个级别，它比“无穷大”更“无穷大”。
在康托尔的研究之前，人们只辨认出有限集与无穷集这两种类型的集合，无人试图对无穷集再作什么区分，而优秀的康托尔对无限集合进行了深入研究，得到了我们前文中的那些让人啧啧称奇的理论。他的这些研究被当时的一些数学家骂得狗血淋头，称他为“业界毒瘤”，但是却得到了德国数学家戴维·希尔伯特的高度赞赏。
相信很多朋友早就知道了，故事里那个酒店模型原名叫做“希尔伯特酒店”，而希尔伯特“发明”这座酒店的目的，就是为了生动地诠释康托尔理论的神奇和诡异。
领悟了康托尔的理论之后，今后仰望满天无边无际的繁星时，想象着宇宙之大时，对于“无限究竟是什么”，是不是又有了不一样的体会呢。
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本期视频的故事的灵感来自于《X的奇幻之旅》，虽然是改编但我们没有乱编。本书作者是一位在《纽约时报》上开了专栏的美国数学家，轻松易懂的笔法，勾勒出一个个神奇的数学脑洞。
来源：薛定饿了么
编辑：Quanta Yuan
发表于 2018-12-28 01:07
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