你是无理的
也是神秘的
前天，超模君跟大家介绍了数学大师约翰·康威的游戏人生（传送门），今天，超模君就从康威常数开始，谈谈那些神秘的常数。
老顽童康威
01
康威常数
λ ≈ 1.303577269
在讲康威常数之前，超模君先带大家了解一下外观数列（Look-and-say sequence）。
1，
11，
21，
1211，
111221，
312211，
13112221，
1113213211，
31131211131221，
……
这个数列有非常多有趣的特点：
①它以1开始，序列的第n+1项是对第n项的描述。
比如：第5项是111221，描述就是3个1，2个2，1个1， 可得下一项就是312211。
②按照①的规律，这个数列会越来越长，但是它永远都不会出现除了1，2，3之外的数字；
1987 年，喜欢研究各种趣味数学的康威看着这个数列，觉得非常有趣，然后就开始研究，
“一不小心”就发现了一个“明显”的规律！
随着n的增大，相邻两项数字长度的比值 L(n) / L(n-1) 会越来越接近一个固定的数。这个数就称为“康威常数”，用 λ 表示，康威证明了它是一个无理数。
同时，康威还指出这个数是下面这个71次方程的唯一正实数解。
x^71 - x^69 - 2*x^68 - x^67 + 2*x^66 + 2*x^65 + x^64 - x^63 - x^62 - x^61 - x^60 - x^59 + 2*x^58 + 5*x^57 + 3*x^56 - 2*x^55 - 10*x^54 - 3*x^53 - 2*x^52 + 6*x^51 + 6*x^50 + x^49 + 9*x^48 - 3*x^47 - 7*x^46 - 8*x^45 - 8*x^44 + 10*x^43 + 6*x^42 + 8*x^41 - 5*x^40 - 12*x^39 + 7*x^38 - 7*x^37 + 7*x^36 + x^35 - 3*x^34 + 10*x^33 + x^32 - 6*x^31 - 2*x^30 - 10*x^29 - 3*x^28 + 2*x^27 + 9*x^26 - 3*x^25 + 14*x^24 - 8*x^23 - 7*x^21 + 9*x^20 + 3*x^19 - 4*x^18 - 10*x^17 - 7*x^16 + 12*x^15 + 7*x^14 + 2*x^13 - 12*x^12 - 4*x^11 - 2*x^10 + 5*x^9 + x^7 - 7*x^6 + 7*x^5 - 4*x^4 + 12*x^3 - 6*x^2 + 3*x - 6 = 0
欧拉
02
欧拉常数γ ≈ 0.577
数频-欧拉常数R ≈ 0.273
为啥会有两个常数？
我们先来看一个古老的调和级数：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ……
随着分母的不断增大，每一项增加的数会越来越小，这样无限加下去，直觉上这个级数会收敛到一个固定的值。
然而，这个级数却是
发散的。。。尽管相加的分数会越来越小，但是这样无限进行下去，它们的和也会变得
无穷大！
早在1360年，数学家Oresme就证明了这个级数是发散的，证明方法也是非常简单：
1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +……
=1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+……
解释：后一个级数每一项对应的分数都小于调和级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发散的。
此后，数学家们一直想要用数学公式来逼近调和级数，却毫无进展，直到无穷级数理论逐渐成熟。
1665年，牛顿在他的著作《流数法》中推导出了第一个幂级数：
1734年，欧拉利用牛顿的成果，首次得到了调和级数有限多项和的值：
1+1/2+1/3+…+1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ......
由于后面那一串数是收敛的，欧拉由此判断它们将无限趋近一个常数，用C表示。即：
1+1/2+1/3+…+1/n= ln(n+1) +C（常数）
欧拉还近似地算出了这个常数 C ≈ 0.5772156649。这个数字后来被称为“欧拉常数”。
到了1790年，意大利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni) 引入了 γ 作为这个常数的符号， 并把这个常数计算到了小数点后32位，因此“欧拉常数”也称“欧拉-马歇罗尼常数”。
不过，2015年出版的《数频科学》指出“欧拉常数”是欧拉的一个致命错误！
由于欧拉的误算，导致这个常数与调和级数完全无关（但可以独立成立）。数频-欧拉常数 R≈0.273才是调和级数与自然对数的差值的极限。
03
钱珀瑙恩常数
C10 ≈ 0.123456789101112
前面两个常数也许你会觉得有点抽象，不太理解，那这个
钱珀瑙恩常数就十分简单了，它是指：将所有正整数从小到大写成一排，然后在前面加个小数点，就ok了！
即：0.12345678910111213141516 ……
这个常数是由英国统计学家钱珀瑙恩（Champernowne）于1933年构造出来的，用符号
表示。
和其他的常数不同，钱珀瑙恩常数并没有描述任何一个数学对象，它只是为了论证一些数学问题而被构造出来的。它可以用无穷级数来表示：
①它是一个无限不循环小数，因此它是一个无理数；
②它不是任何一个整系数多项式方程的解，因此它是一个超越数；
③每一种数字或者数字组合出现的机会都是均等的，因此它是一个正规数。
04
黄金分割
φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618
黄金分割数0.618是公认的最具有审美意义的比例数字，关于它的诞生，有这样一个传说：
相传，在公元前6世纪的某一天，毕达哥拉斯在街上闲逛，在经过一家铁匠铺时，听到一段很动听的铁匠打铁的敲击声，于是便走进去，量了量铁砧和铁锤的尺寸，发现他们之间的比例很有趣，后来，经过无数次的试验之后，得到了这样一个结论：
线段长度比例约接近0.618，敲出来的声音就越优雅！
0.618与1.618互为倒数
虽然这只是一个传说，但是黄金分割的最初来源确实是来自毕达哥拉斯。在公元前6世纪的时候，毕达哥拉斯学派就研究过正五边形和正十边形的作图。
在正五边形里AC/AB=BC/AB=0.618，CD/BC=BD/BE=0.618
在正十边形里，AB/OA=0.618。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统地研究了黄金分割问题，并建立起比例理论。
到了公元前300年左右，欧几里得吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，并将这些研究成果写进了《几何原本》，它是最早的有关黄金分割的论著。
黄金分割无处不在，几乎所有与美有关的东西，都会与它扯上关系。遍布各种名画、摄影、建筑、音乐等等，甚至炒股、战争布局、医学……
而在数学上，还有这样一个“黄金分割数列”，就是“斐波那契数列”。
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144·····
这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。而在这个数列中，还隐藏着一个0.618。
随着数列项数的增加，前一项与后一项之比会越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887..…
写到这，超模君数数还剩哪些数学常数。。。
突然发现把几位“大牛”给漏掉了（π、e……）
不过。。。
本文由超级数学建模编辑整理
部分资料来源于网络
发表于 2017-6-22 13:55
收藏
分享