2011年，彼得·舒尔茨（Peter Scholze）提出了一个被称为类完美空间的数学概念，尽管这是一种叫新的数学，但它让数学家得以借此证明代数几何和其他领域中的许多未解谜题。舒尔茨的这项工作，也将拓扑学、伽罗瓦理论和p进数结合到了一起，并成为了他后来在2018年获得菲尔兹奖的部分原因。
我们今天要讲的内容，就与p进数有关。p进数是一个无穷的数字系统的集合，每个不同的p进数系统都与一个特有的素数相关，比如2进、3进、5进等等，这个概念发展于一个多世纪前，现在已经成为研究有理数问题的关键，是现代数论的核心。
有理数是我们熟悉的一类数字，1、3.2、-3、1/5……所有能写成正数或负数的比值的数，都是有理数。然而，这些熟悉的数字并没有想象的那么简单。问题在于它们含有”漏洞“，如果将一个有理数序列放大，你就可能发现一个本身并非有理数的数字，这样的数字会给一些基本的数学工具带来麻烦，比如大多数的微积分。
通常，数学家解决这类问题的方法是将这些有理数排成一行，然后用无理数将”漏洞“处填满，从而建立起完整的实数系统。但除此之外，还有其他方法能用来进行这项工作，那就是使用p进数。
p进数是基于模运算的，这是一种计数方法。我们对于”模“的概念或许并不陌生，比如我们可以用模来表示一个数到0的距离，对于一个大于0的数，它的模就是它自己；对于一个小于0的数，它的模就是它自己的相反数。这种概念就像时钟一样可以自动循环，比如在24小时时间系统上，13点就等于下午1点一样，用数学的语言来说，就是13模12等于1。
那么p进数是如何从模的运算中产生的呢？首先，我们要以一个特定素数为模数对所有整数进行分类。例如，将0到8的整数以模3分类，可以分在三个圈圈中。
看到这里，想必你已经清楚了这种分类的规则：处于同一个圈圈中的数除以p（在3进数中也就是3），所得到的余数相等。
如何才能书写p进数呢？这需要根据p的数值和p次方幂所出现的频率来决定，以11在3进数中为例，它可以写成：
P进数的这种特性使得它定义了一种新的表示接近程度的度量，在这个衡量接近度的新方法中，两个数靠得多近不是由他们的数值大小决定的，而是由它们的差能否被素数p的幂整除决定的，幂越大，两个数越接近。一个p进数的大小是由其质因数分解中p的普遍性决定的，p越多的数越小。例如，在3进数中，486是很“小”的，因为它可以分解成许多的3，486 = 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3。
另一种思考接近程度的方法是考虑哪些数更接近0。在p进数中，在塔楼的较高楼层共享一个圈圈的整数，会相距更近。比如数字0和486在第一层到第五层塔中一直共享一个圈圈；而0和6只在第一层共享一个圈圈，这表明相比于6，486与0更接近，因此486小于6。
算数法则在p进数领域也略有不同。以486 + 486 = 972为例，在实数概念中，972显然比486大；但在3进数中，972和486的大小相同，因为在它们的质因数分解中，972和486都有相同数量的3。
为了研究整数的质因数分解的特征，数学家还会以p次方幂的模对整数进行分类。回到3进数的例子中，我们能以3的更高次幂为模对整数进行分类，比如3²（9）。
如此一来，模3等于0的整数属于同一类，它们的质因数中至少有1个3；模9等于0的整数至少有2个3；模27等于0的整数至少有3个3……以此类推。现在，将以3、9和27等为模的整数像一座塔一样一层一层地堆叠在一起，我们可以搭建出一个有着无穷层数的塔，每一层塔都是所覆盖的底下一层塔的3倍，且这种模式会一直延续下去。舒尔茨所提出的“类完美空间”，正是数学家如何利用这些有着无穷层数的塔的一个示例。
在p进数“塔”的“顶部”，可以无限地形成分形般的圈圈。这些分形也有其”漏洞“，数学家可以通过形成”完备“的p进数有理数来进行填充这些”漏洞“，这个过程与在实数数轴上添加无理数的过程相似，从这个意义上，p进数和实数背后的原理是有相同之处的。
p进数或许听起来奇怪，但它为数学家处理数论领域的许多问题中提供了有效的方法。它的一个重要应用就在于可用于确定一个多项式方程是否存在有理解，这在一般情况下是一个很难求解的问题。当一个方程从实数的角度考虑时存在有理解，那么它在p进数上对于所有数值p也有解，这反过来意味着，如果一个方程没有某个p值的p进解，那么就可以判断这不是一个存在有理解的方程。
p进数是类完美空间的根基，它对于现代数学有着不言而喻的重要意义。现在，一些研究人员正在试图将p进数应用到物理学上，并期待它能带来意想不到的成果。
参考来源：
https://www.quantamagazine.org/how-the-towering-p-adic-numbers-work-20201019/https://plus.maths.org/content/ps
https://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/the-numbers-behind-a-fields-medalists-math/
封面图来源：brown.edu
发表于 2020-10-24 22:35
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