这些和其他令人惊讶的例子清楚地表明,数学家需要证明维度是一个真实的概念。例如,当n≠ m时,n维和m维欧几里得空间的某些基本性质是不同的。这个目标被称为“维度不变性”(invariance of dimension)问题。 终于,在1912年,在康托尔的发现之后将近半个世纪,在人们多次证明维数不变性的尝试失败之后,布劳威尔(L.E.J. Brouwer)使用自己创造的一些方法并取得了成功。从本质上讲,他证明了不可能将一个更高维的物体放入较低维度的空间中,以及在不将物体分成许多部分(如康托尔所做的那样)、不允许物体与自身相交(如皮亚诺所做的那样)的情况下,使用较低维度的物体填满较高维度的空间。此外,大约在这个时候,布劳威尔等人给出了各种严格的定义,例如,可以根据球在n维空间中的边界是n-1维这一事实,帮助归纳地确定维数。 尽管布劳威尔的工作将维度概念置于强大的数学基础上,但它无助于增强我们对高维空间的直觉:对3维空间的熟悉太容易使我们误入歧途。正如托马斯·班乔夫 (Thomas Banchoff) 所写,“我们所有人都是对自己所在维度存有偏爱的奴隶。” 例如,假设我们将2n个半径为1的球体放置在边长为4的n维立方体中,然后将另一个球体放置在与它们中心相切的位置。随着n增加,中心球体的大小随之增加——它的半径为√n -1。但是,令人震惊的是,当n≥10时,这个球体会伸出立方体的边。