花了不到一周的时间，解出了一个几十年无人能解的数学难题，随后凭借这项研究和其他工作，在获得博士学位短短14个月后，就获得了MIT助理教授的职位。
这个故事真实地发生在一位年轻数学家Lisa Piccirillo的身上。它乍听之下充满了“天才”、“机遇”等令人羡慕的元素，但这当然只是表象。
○ Lisa Piccirillo | 图片来源：utexas.edu
Piccirillo喜欢扭结理论（knot theory）在视觉上的直观性，但她并不认为自己最主要的身份是纽结理论学家。Piccirillo最感兴趣的是三维和四维流形，但这些研究与扭结理论有着深刻的联系，她因此也对扭结进行了一些研究。
她的证明发表在今年二月的《数学年刊》上，这是世界最顶级的数学期刊之一。论文的标题简短而清晰“The Conway knot is not slice”（康威扭结不是切片），她成功证明了康威扭结不是光滑切片，并完善了少于13个交叉的切片扭结（slice knot）的分类。
在介绍何为切片扭结之前，我们先来了解一下扭结的概念。我们日常生活中的所谓的“结”，通常是指一条绳子以特别的方式缠绕在一起，绳子的两端不会相连，这些结也可以通过相应的方式解开。
但是在数学家眼中，扭结的“绳子”两端是相连的。在过去的一个世纪里，这些“打结的环”出现在各个领域，从量子物理到DNA结构，以及三维空间的拓扑学等，帮助解释了许多的问题。
如果上升一个维度，在一个想象的空间中思考，事情也会有所不同。要在四维空间中创造一个“打结”的对象，你需要二维的球面，而不是一维的环。三维提供了足够的空间来构建打结的环，四维也为打结的球面提供了这样的空间。
对我们来说，很难想象出“四维空间中打结的球面”的画面，或许我们可以先考虑三维空间中一个普通的球。如果对这个三维空间中的普通球进行切片，你会看到一个没有打结的环。但是当你对四维空间中的一个打结的球面进行切片时，你看到的就可能是一个打结的环，也可能是一个未打结的环，亦或者是连在一起的几个环，具体取决于切片的位置。
所有通过对一个打结的球面进行切片而得到的扭结，就被称为切片扭结。并不是所有扭结都是切片，例如三叶结就不是切片。切片扭结在扭结理论的三维和四维间提供了一座桥。
○ 三叶结。| 图片设计：雯雯；素材来源：Wikicommons
但是，四维还有更为独特之处。在四维拓扑中，切片的含义有两种。数学家发现，四维空间不仅包含了我们直观看到的光滑球面，还包含了无法铺平的褶皱的球面。哪些扭结是切片的问题，取决于是否选择包含这些褶皱的球面。
这些奇怪的球面是四维拓扑的一种特征。那些是“拓扑切片”而不是“光滑切片”的扭结，意味着它们是某种褶皱球面的切片，但不是光滑球面的切片。这些扭结让数学家构建出了四维空间的“奇异”版。而切片扭结也为数学家探索四维空间的奇异本质提供了一种方法。
多年来，数学家发现了各种各样的是“拓扑切片”而非“光滑切片”的扭结。对于几乎所有带有12个或更少交叉的扭结，数学家已经搞清楚了它们的切片属性，除了一种扭结一直无法确认——康威扭结。
康威扭结是在半个多世纪前由著名数学家约翰·霍顿·康威（康威于今年4月病逝，有关他的更多故事详见《数学怪才的游戏人生》）发现的，这种扭结有11个交叉。
在上世纪80年代，数学家已经认识到康威扭结是拓扑切片，但他们无法确定它是否是光滑切片。数学家怀疑它不是，因为这种扭结似乎缺少一种被称为“缎带”（ribbonness）的特征，而这种特征通常是光滑切片的扭结所具有的。但这一点始终没能得到证明。
康威扭结有一种“兄弟”一般的相近变体。如果你在纸上画出康威扭结，剪下纸的一部分，翻转过来，重新连接，会得到另一种扭结，被称为Kinoshita-Terasaka扭结。
○ 图中左边为康威扭结，右边为Kinoshita-Terasaka扭结。| 图片设计：雯雯；素材来源：参考资料[3]
问题是，Kinoshita-Terasaka扭结恰好是光滑切片。而由于康威扭结与光滑切片的扭结关系甚密，因此它成功“瞒过”了所有用于检验非切片扭结的工具。不变量（invariants）即是数学家所使用的探测工具，而康威扭结仿佛恰好处在了各种探测工具的盲区之中。这也使得康威扭结是不是切片的问题，成了许多现代扭结理论领域发展的试金石。
2018年夏天，Lisa Piccirillo参与了一场关于低维拓扑和几何的学术会议。Shelly Harvey教授在其中一场演讲里提到了康威扭结问题。
这是Piccirillo第一次了解到这个有趣的数学问题。而这似乎是一个很好的试验场，测试她在研究生期间开发的一些技术。
每个扭结都有一种相关的四维形状，被称为它的轨迹（trace）。扭结的轨迹以一种非常强烈的方式“编码”扭结。不同扭结可以有相同的四维轨迹。数学家已经知道这些轨迹相同的扭结总是有一样的切片状态，也就是说，要么它们都是切片，要么都不是。
Piccirillo想到了一种策略，如果她能创造一个和康威扭结轨迹相同的“兄弟”，就可以通过这个“兄弟”来证明康威扭结是否是切片。构建轨迹相同的扭结并不是一项简单的工作，但Piccirillo却很擅长。
通过巧妙的组合，Piccirillo成功地构建出了一个复杂的扭结，其轨迹与康威扭结相同。对于这种扭结，一种名为Rasmussen s-不变量的检测工具证明了这个扭结不是光滑切片，因此康威扭结也不是。而这个过程只花了她不到一周的时间。
○ Piccirillo扭结。| 图片设计：雯雯；素材来源：参考资料[1]
扭结轨迹是一种经典的工具，已经存在了几十年，但Piccirillo对它的理解显然比其他人更深刻。
在Picirillo发现答案的几天后，她见到了得克萨斯大学奥斯汀分校的数学家Cameron Gordon教授，并把结果告诉了对方。Gordon教授非常惊讶，他觉得Picirillo还没有意识到这是个多么古老而著名的问题，他激动地让Piccirillo立刻投稿给《数学年刊》。
波士顿学院的Joshua Greene是Piccirillo本科时期的老师。他认为Piccirillo的证明非常美，她的工作也已经向拓扑学家表明，人们对扭结轨迹的认识不足。而现在“其他人已经在纷纷效仿了”。
参考来源：[1]https://www.quantamagazine.org/graduate-student-solves-decades-old-conway-knot-problem-20200519/[2]https://annals.math.princeton.edu/2020/191-2/p05[3]Renzo L. Ricca, An Introduction to the Geometry and Topology of Fluid Flows
封面图设计：雯雯子素材来源：Pexels/Pixabay / Quantamagazine
发表于 2020-5-28 11:40
收藏
分享