数学里的自然底数为什么用e表示?
Original
2017-03-28
余小鲁
赛先生
这是赛先生2017科普创作协同行动的第9篇文章。
撰文:余小鲁 责编:李娟 韩琨
e是什么?
让我们先尝试回答一个看似简单的问题:e是什么?
这个问题也许有一百个答案,笔者无法判断哪个答案最为美妙、自然、深刻,但可以确信,最直接最乏味的答案是:
e=2.71828182845904523536028747135266249775724709369995……(小数点后五十位)
一个调皮神秘的记号e,变成了一堆数字的堆砌,这大概不会是读者们投票选题所要的答案。那么,笔者尝试给出第二个答案:e是所有数学常数中,跟我们口袋里的“银子”关系最大的一个。
e与金钱的关系可以追溯到1683年。当时,雅各布•伯努利(在数学领域,称呼伯努利要特别小心,因为伯努利家族至少有八位著名的数学家,对我们来说,他们都叫伯努利)思考了这样一个问题:你的账户里面有一块钱,假设一年银行给你的利息是100%。如果利息在年终一次性结算,过了一年你的帐户里面就有两块钱啦。但如果把这个利息拆散,多发几次会如何?
举个例子,一年发两次,也就是六个月发一次50%的利息,一年后你将有(1+0.5)^2=2.25块钱。如果每个月发一次1/12的利息,那么一年之后你将有(1+1/12)^12=2.61块钱。伯努利非常开心地发现,这么算会让自己更富有,就开始认真研究:如果一年发无数次利息的话,自己一块钱的帐户将会变成:(1+1/n)^n=? (当n趋于正无穷大)
伯努利首先注意到,当n趋于正无穷大,这个式子的极限是存在的,而且他用二项式展开证明了极限值在2和3之间。也就是说,你不会因此变成世界上最富的人。如果大家有兴致自己去算这个式子的值(比如说n等于一万),那么将会回到文章开头最乏味的答案的一小部分。
如果大家不是太贪心,只是想让自己口袋里的钱翻倍而已,笔者可以教大家一个有趣的口算办法。举一个最熟悉的例子,你买了只股票天天涨停(一天10%),七天就翻倍了。如果天天涨6%,几天翻倍呢?大约12天。口算的公式特别简单:xy=72。
每天涨x%,那么翻倍需要的天数大约为y天。比如说,每天赚一个点,x=1,那么y=72。72天之后,你的钱有(1+1%)^72=2.04。学会了xy=72这个公式,大家可以在家里掐指算一下自己发财的时间(图1)。这条公式,其实无非说的就是中文里面利滚利的“滚”字,非常生动。
说回伯努利发现了跟金钱关系最大的复利,极限居然就是我们文章的主题e=(1+1/n)^n(当n趋于正无穷大),但伯努利并没有称呼这个东西叫做“e”。
图1. “复利是世界上最伟大的力量”——爱因斯坦(图片来源:pinterest)
第一个用e来表示上面复利公式的极限的,是另一位大数学家——欧拉。事实上,欧拉有无数得意之作,跟e相关的工作可称为他的代表作,必须用自己的名字Euler的首字母来表示。(这个猜测可能是小人之心,也许e就是指数expotential的首字母而已,大家姑且听之。)e在数学上称为 欧拉数(Euler’s Number)。注意,这不是 欧拉常数(Euler’s Constant),欧拉常数是用另外一个美丽的记号r 来表示。其实,这个区分是一种繁文缛节。叫欧拉数的还有很多,流体力学里面的欧拉数、拓扑学里面的欧拉数……每一个都代表了欧拉在其领域的重要贡献。世人艳称的最美数学公式
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