π、φ、e......
π、φ、e......Original 原原
原理 2023-03-14 05:30
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π：3月14日
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圆，是我们生活中最常见的形状。神奇的是，无论一个圆是像星球般大小，还是比原子更小，圆的周长与直径之比总是等于π。
π是一个对小学生来说都很容易理解的概念，但它的小数位却没那么容易计算。像1/7（≈0.1428571428571……）这样的数字，虽然其小数点后存在无穷多位，但这些数字每6位就会循环一次，非常有规律。但π却没有这样的规律，它是无理数的一个典型示例，也就是说，它不能用分数表示，在小数点后的无限多个数字中也没有任何重复模式。π的近似值是3.1415926536。只用这10位数，我们就能以毫米级的精度计算地球的周长；如果取其小数点后32位数，我们可以以氢原子宽度的精度，计算出银河系的周长；一旦有了小数点后65位数，我们就能以普朗克长度，也就是最短的可测量距离的精确度，计算出可观测宇宙的大小。
那么，剩下的无穷多位小数有什么用呢？简而言之，它们在科学上几乎可以说毫无用处。
但从古至今，世界各地的数学家，以及后来的计算机科学家，都在尝试不断计算π。最直接的原因是，我们对π的本质其实还有许多疑问。尽管经过了几个世纪的研究，但关于π的小数位的发展模式仍有一些根本性的问题没有得到回答。
而当我们研究自然的其他方面时，会发现π其实无处不在。它不仅与每一个圆有关，还可以通过傅里叶级数和海浪或声波联系在一起。π也会在其他许多公式中出现（点击公式查看更多）：
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像π这样奇特的数字频繁地出现在自然现象和相关方程中，以至于数学家会专门在3.14这一天进行庆祝。这一天对于物理学家也意义非凡，因为爱因斯坦（1879年3月14日 - 1955月4月18日）和霍金（1942年1月8日 - 2018年3月14日）都与这一天有关。
除了π日，还有哪些数学常数值得铭记，让我们在日历中设置更多的“数学节日”呢？
φ：1月6日
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黄金比例是一个非常奇妙的数字，我们通常用希腊字母φ来表示它，它被热内代表着最符合美学的比例。φ等于1.618……，所以我们可以在1月6日庆祝φ日。
黄金比例最早出现在欧几里德的《几何原本》中，并被意大利数学家卢卡·帕乔利推广。帕乔利在1509年写了一本名为《神奇的比例》的书，这本书虽然以黄金比例为题，但并没有基于黄金比例主张任何美学理论。另外，经常有人说达·芬奇在画作中用到了黄金比例，最著名的例子是画作《维特鲁威人》，但这些比例其实与黄金比例并不相符，没有直接证据证明达·芬奇真的用到了这一比例，他只是在作品中提到了整数比。
另一位意大利人斐波纳契在研究兔子如何繁殖时，首次发现了自然界中的φ。在此之前，关于兔子繁殖的一种最常见的假设是，每对兔子每个月都会生出两只兔子。从一对兔子开始，种群将遵循1、2、4、8、16、32、64、128、256……的规律增长。换句话说，兔子每个月会以2的增长比率不断繁殖。
然而，斐波纳契却观察到，兔子在第一个周期达到性成熟，之后才开始繁殖。也就是说，一对兔子实际上是以1、1、2、3、5、8、13、21、34……这种梗缓慢的进展进行繁殖的。这便是著名的斐波那契数列，数列中的每个数都等于它前两个数之和。
那么，φ与这个数列有什么关系呢？仔细观察这个数列，你会发现每个数字都是前一个数字的1.6倍左右，事实上，这种增长比例会越来越接近1.618……举个例子，21是13的约1.615倍，34是21的约1.619倍。也就是说，兔子群繁殖时，它们的增长比率不是2，而是越来越接近黄金比例。
当然，真实世界的兔子不太可能精确地遵循这一规则。毕竟在自然环境中，它们有被捕食者吃掉的可能。但斐波那契数列在自然界中广泛存在，比如松果、向日葵或者叶片排列的方式。
值得一提的是，尽管黄金比例充满了各种神秘的色彩，但真正让它有别于其他数字的一个重要属性是它的无理性，而且它是无理性最强的一个无理数，这意味着它不仅不能被精确地表示为分数，甚至很难用分数来近似。这一特殊的性质，也使它成为数学家和计算机科学家在研究同步过程时的一个非常有用的工具。
e：2月7日
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二月还有另一个重要的常数e，也就是2.718……别忘了明年2月7日的狂欢。
要理解e，我们得再次考虑翻倍增长，但这次我们可以以银行账户中的钱为例。
假设你存在银行里的钱能奇迹般地带来100%的利息，每年复利。也就是说，年初每1元的投资在年底就能变成2元。但如果每半年复利一次，50%的利息在年中就能入账，那么你在年终就有1.5元，你在年底时将得到这1.5元的剩下50%的利息，也就是0.75元，一共是2.25元（1.5+0.75=2.25）。这时，你的投资其实翻了2.25倍，而不是两倍。
这时，假如银行之间竞争激烈，每家银行都争相在更短、更频繁的时间间隔内复利相同的100%的利息，那么你的回报会无限高下去吗？答案是否定的。增长比率会从2提高到大约2.718，更准确地说，是提高到e，但不会更高了。虽然你会更频繁地收到利息，但它们的回报也在逐渐减少。
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17世纪末，微积分的出现让人们处理问题的能力发生了质的飞跃。现在，数学可以分析任何变化的东西，它的应用领域扩展到了自然中的绝大多数现象。
常数e之所以著名，是因为它在微积分中具有一种标志性作用，它被证明是追踪变化的最自然的增长系数，也因此出现在描述许多自然过程的规律中，从人口增长到放射性衰变无一不包。
还有更多
对于4月，我们可以有????日，它代表着费根鲍姆常数????，等于4.669……简单来说，它可以衡量增长过程如何快速进入混乱状态。
除了以上提到的，你还能想到哪些常数可以纳入我们的数学日历吗？
#创作团队：撰文：原原排版：雯雯
#参考来源：
https://theconversation.com/pi-gets-all-the-fanfare-but-other-numbers-also-deserve-their-own-math-holidays-200046#图片来源：
封面图&首图：pixabay插图素材：pixabay
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