弧度与度到底什么关系？为什么角度是无量纲的？
弧度与度到底什么关系？为什么角度是无量纲的？中科院物理所 2022-06-21 22:22 Posted on 北京
The following article is from 大学物理学 Author 薛德堡
之前我们发过一篇文章，但是有朋友看了表示有疑惑，问小编：为什么当是弧度(radian)时，
但当是以度(degree)为单位时，却是能否给个令人心服口服的证明呢？
小编说：一般的高数书上应该有讲啊。
朋友追问：高数书上只证明了(1)式，而且挺复杂的，要用到那个极限的夹逼准则，不太直观，能否直观讲一讲？
经过思考之后，我给出了如下证明过程。
先来看弧度制下的情形。
如下图，设有长度为的弧，它的半径为1，按照弧度制，那么这段弧对圆心张开的角也为。若弧长增加，即沿逆时针方向从B延申到D，则角度也相应的增加。
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/H6QrBXmMUtb7APQchGBHqhTvWwLIqNPbWOz5ugyCOZzcqDXFTs4WDQO28bThqvMkekqSweUZ2BUyl7f6prWulw/640?wx_fmt=png
根据函数的定义，图中标出的红色和绿色竖线的长度分别是和。
从B点作CD的垂线BE，则即为的增量，而弧即为的增量，故有当时，弧就是，上式即 上式左边就是角的正弦值，也就是角的余弦，而与弧的张角相等，故上式左边等于，因此就得到 这就得到了弧度制下的情形。
那么，若是度制，的导数为什么会多出一个因子？
为了清楚的说明这个问题，首先要解决的一个问题是：若角度分别用度与弧度表示，它们的函数表示该如何区分？
要知道，现在我们有两种不同的角度制，一个叫度，一般写作，例如 还有一个角度制，叫弧度，它没有符号，就是普通的数，例如 一般情况下，我们可以根据是否存在那个小圆圈来判定到底根据哪一种角度制的，从而确定其结果，这个中学都学过，没问题的。
作为三角函数,或是什么，函数符号对吗？如果是，那对于丢入的一个确定的数字，算出的结果应该是确定的，因为确定的函数符号代表一个确定的运算法则。 例如的值等于多少，应该只取决于的值啊！
但现在问题来了，有两种度量方式，那会出现同一个值，有两种函数值？例如 你会说，这没问题啊，前面是度，后面那个是弧度啊，不会导致胡乱啊！
问题是，当自变量符号是采用度制的时候，你难道也带上一个度的符号？你只是心里知道，但你不能写成，例如对度制的数的正弦，你只能记作。但这显然会造成混乱，因为一个自变量不可能对应多个函数值！
让弧度制优先用和这些符号，而度制的函数就谦让一下，另外再发明一个符号表示，例如用表示度的正弦，而用表示度的余弦。
好了，现在来看 等于多少？
根据弧度与度的关系， 所以 根据熟悉的弧度制下的三角函数导数，我们都知道右边等于 而根据弧度值与度制的关系 所以有 所以有 如果你不想让弧度优先使用三角函数符号，而是想度与弧度平起平坐的使用三角函数的符号，那你只要将上面的换成，换成，你就得到了 这就是角度采用度制时的情形。
但这样做，你一定不要将这里的和与前面推导过程中使用的那些和搞混了。弧度制的正弦，它的导数与弧度值的余弦是相等的，即 符号一样，关系却不同！ 但作为函数符号，它们的运算法则本应是相同的！这是造成有人感觉晕晕的原因！
实际上，如果不想晕，你只要依旧承认弧度制的优先地位，对度制的三角函数，发明一种新的符号，例如表示正弦，而类似的，表示余弦，那么上面那个式子就可以记为这样，就没有那种怪怪的违和感了！
讲到这里，我得意的回头看了看老A。
但老A却摸了摸脑袋说，他当然相信这些都是对的！但直觉上又觉得，既然弧度和度是角度的两种平等的单位制，那么仅仅变换单位制，怎么会影响自身的规律的形式呢？
听到他这么说，我哑然失笑：这厮学物理学傻了。
他大概率将数学公式与物理规律一样对待了！
果不其然，他反手就举了牛顿方程的例子 他问我：对动量用不同的单位，这个公式不还是这样吗？
我说，虽然你眼里看到的是物理公式，但你心里想的是物理规律，既然你相信物理规律不变，所以你自然觉得它总是一样的。
但实际上，你看到的是物理公式，它与物理规律是两码事。物理公式本质上就是数学公式。
当你采用不一样的单位制时，物理量之间的数值关系也一样变了！所以，不同的单位制下，物理规律不会变，但物理公式肯定会变。
例如，采用国际单位制时，库仑定律是 这里的取值为Nm²/c²。但当你选用不同的电荷单位时，值不就变了吗？
另一个例子是法拉第电磁感应定律，正是因为采用国际单位制，它才有如下简单的形式 否则，这里也会多出一个不等于1的系数，变成 这里的系数是多少，取决于你采用的单位制是什么。
单位制的选择不光会影响物理公式的比例，甚至还会在原有的物理公式中加上或减去一个东东。例如采用摄氏度作为温度的单位时，理想气体的压强和温度的关系为 式中的为无限稀薄的气体在0摄氏度时的压强。
当采用开尔文作为温度单位，即定义 后，则上述关系式变为 再举个例子，光速不变是狭义相对论的一条基本规律，但光速到底等于多少，这是人为定义的。当我们选择国际单位制时，它的值为299792.458km/s，当采用不同的单位时，它的值当然就不是这么多了！
所以说嘛，单位制的改变，当然会改变物理公式的样子！但是，物理规律是不会变的，因为它是客观的嘛。
听我这么一讲，老A似乎有点明白了。但他还是有点不甘心，他说，弧度和度是地位相当的两种角度单位，为什么一个导致如此简单的关系，另一个却变得复杂呢？
那么，弧度和度真的地位相当的吗？
当然不是！
从它们与长度的关系可以看出差别。
如下图，半径长为1的一段弧，假设它对应的角度记为，现在来分别看弧度与度的情况下，有什么不同。
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/H6QrBXmMUtZXozdgiadF7Cj5slZbD1Te9mBXFEEiajsnmVaOPext4XAV7ES4IbGflVXhwicQu2ggxia6BUhUrCOwWg/640?wx_fmt=png
当为弧度时，它的大小更好等于弧长与半径的比值——这就是弧度的定义嘛！因此上图中的弧长BC就等于。
而当角度值的单位为度时，必须将它换成弧度才能得到弧长，因此弧长BC为。
看到了吧，你可以认为弧度和度相当，但从它们与弧长的关系上可以看出，弧度数值本身就是弧长，而度的数值需要经过换算后才得到弧长。
有人可能会说，干嘛要让度来迁就弧长？让弧长来迁就度不行吗？就将弧长记录为半径与角度的乘积，不同的角度单位得到不同的数值的弧长！换句话说，重新定义一个弧长的单位叫做“米度”。
看起来挺不错，这样从半径到弧长，与弧度制一样，不再需要换算的系数了！
例如，一个半径为1米，对应角度为45度的弧长，就记作为 米度很显然，半径为45米，对应角度为1度的弧长也是这么大，看起来没什么问题，因为事实上，它们的弧长的确是一样的。
但现实中，我们时刻需要比较和度量各种曲线和直线的长度，它们既然都是长度，必定都属于同一种物理量描述的东西，具有确定的量纲。
什么叫量纲？
简单的说，就是物理量的单位的共性。
用来度量同一个物理量的不同单位，具有同样的量纲，为了方便，这个量纲就用物理量符号加中括号表示。
例如公斤、克和磅都是质量单位，因此它们的量纲是质量，记作；秒，日和年都是时间单位，它们的量纲是时间，记作；而米，公里和光年则具有同样的量纲——长度，记作。
量纲之间可以通过乘除得到新的量纲。例如，根据牛顿第二定律，可以得力的量纲为 物理上同属一种物理量描述的东西，必然具有同样的量纲！只有量纲相同的量才可以进行加减运算——废话，单位相同的才可以加减嘛！而单位相同，则量纲必然相同。
有一种特殊的量，它的值是没有量纲的纯数字，我们称之为无量纲量，也可以说它的量纲为1。
因此，按照量纲规则，上述定义的弧长的量纲既然是长度乘以角度，如果角度的量纲不为1，那所得的弧长必然就不再具有长度量纲了！
这导致一个奇怪的问题：既然你采用了另一个不同于长度量纲的物理量来度量弧长，那说明弧长与半径的长度是不同的东西！
这是一件不可思议的事情，就好比你把一根直铁丝完成弧形，它的长度变成另一个东西了！
在采用度制时，它的数值和量纲都变了！
在采用弧度制时，虽然弧长的数值符合经验要求——直铁丝完成弧形后，弧长数值保持与之前直线的长度数值相等。但问题是，既然弧长等于半径乘以弧度，那么弧长的量纲也是长度乘以角度，仍然不具有长度量纲！
换句话说，弧度与度一样，都会导致弧长变成与长度不一样的东西啊！
但直觉告诉我们，一根直铁丝弯成弧形，它的长度应该是不变的啊！
那怎么办呢？
你可能也发现了，将角度视为无量纲量就行了！这样，弧长和半径就具有同样的量纲——长度！
正如前面提到的那个例子，你手握一根直铁丝，弯成弧形，无论它的半径是多少，可以肯定相比之前的直线，弧的长度没变啊！这个直觉告诉我们，直线和弧的长度是同一个东西，量纲必然相同嘛！
所以，角度是一个无量纲的量，或者也可以说，它的量纲为1。
必须要强调的是，量纲是物理量的基本属性，描述的对象是物理量。所以，角度无量纲，决定了它的单位也就是无量纲单位。
很多人以为，度不像弧度那样是纯数，所以度应该有量纲。这种理解是错误的！度和弧度一样，是角度这个无量纲的物理量的不同单位制。
不过，将角度定义为无量纲量之后，对度来说，前面提到的重新定义的弧长的数值比实际大，这不符合人们的直觉。而对于弧度来说，它与半径的乘积不仅具有长度量纲，而且刚好就是弧长的真实大小，正好符合我们的直觉——想想前面提到的那个把直铁丝弯成圆弧的事情。
例如，若角度是弧度制的，则从半径和角度计算弧长按如下方式
而对角度为度的情况，应先将度换算成弧度，再根据上式计算，因此计算公式为可见，将角度定义为无量纲的量后，弧度制下，计算不需要额外转换，多出一个因子。
所以，弧度制优于度制！
另外，再拓展一下。
弧度表示的角度不局限于平面角，也适用于立体角。如下图所示，球面上的一部分面积相对球心张开的角度就是立体角。
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/H6QrBXmMUta3wmibTO4pBV2icsmr9LeR68FiaLqQ8qDqLXxSIp3Xy6CHtf63uLI8XBA8fO1icjIn80Se3xDmsG2JhA/640?wx_fmt=png
立体角的弧度制定义为面积与对应半径的平方的比，即 如果考虑整个球面，显然立体角为。由此定义可知，分子分母都具有面积量纲，量纲相除之后等于1，所以立体角也是一个无量纲量。
实际上，你还可以将角度推广到更高维的情形，只不过它总是等于两个同样幂次的长度量纲相除，量纲相除的结果总是1，所以它总是无量纲的。
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